Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)            

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)                          

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

Lời giải chi tiết

A. \(y = \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\)

Đặt mẫu: \(3x - 2 = 0\) → \(x = \frac{2}{3}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (5x + 1) = 5.\frac{2}{3} + 1 = \frac{{13}}{3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty \).

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x = \frac{2}{3}\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}\).

Vậy, hàm số có TCN là: \(y = \frac{5}{3}\).

B. \(y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}\)

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đặt mẫu \({x^3} + 1 = 0\) → \(x =  - 1\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty \).

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 1\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2\).

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 2\).

C. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

TXĐ: \(x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]\)

Đặt mẫu \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 0\) → \(x =  - 2;\;x = 2\).

Vậy hàm số có TCĐ là: \(x =  - 2;\;x = 2\).

Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} =  - 1\).

Vậy hàm số có TCN là: \(y = 1;\;y =  - 1\).