Giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Lời giải chi tiết

- Tính góc giữa hai cạnh kề nhau:

Ta có các vectơ chỉ phương sau:

\(\overrightarrow {SP}  = P - S = (8 - 0;0 - 0;0 - 0) = (8;0;0)\)

\(\overrightarrow {SQ}  = Q - S = (8 - 0;18 - 0;0 - 0) = (8;18;0)\)

\(\overrightarrow {ST}  = T - S = ( - 1 - 0; - 1 - 0;7 - 0) = ( - 1; - 1;7)\)

\(\overrightarrow {SH}  = \overrightarrow {PQ}  = (0;18;0)\)

\(\overrightarrow {SE}  = (9; - 1;7)\)

Góc giữa những cặp cạnh kề nhau:

\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) = \frac{{8.( - 1) + 0.( - 1) + 0.( - 7)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{ - 8}}{{8.\sqrt {51} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PE} ) = (\overrightarrow {HQ} ,\overrightarrow {HK} ) = (\overrightarrow {QH} ,\overrightarrow {QR} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) = \frac{{( - 1).(0) + (1).(2) + ( - 7).(0)}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {51} .2}} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {RE} ,\overrightarrow {RQ} ) = (\overrightarrow {TS} ,\overrightarrow {TK} ) = (\overrightarrow {KT} ,\overrightarrow {KH} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) = \frac{{( - 10).( - 1) + (0).(1) + (0).( - 7)}}{{\sqrt {{{( - 10)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{10}}{{10.\sqrt {51} }} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {TE} ,\overrightarrow {TS} ) = (\overrightarrow {KH} ,\overrightarrow {KR} ) = (\overrightarrow {RK} ,\overrightarrow {RQ} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{(1).(0) + ( - 1).(18) + (7).(0)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {51} .18}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {QP} ,\overrightarrow {QR} ) = (ST,\overrightarrow {SH} ) = (\overrightarrow {HS} ,\overrightarrow {HK} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)

\(\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = \frac{{8.(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = {90^\circ }\)

\(\cos (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{( - 8).(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{{( - 8)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = {90^\circ }\)

Các cặp cạnh còn lại có số đo góc là 90°

- Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Chọn một cạnh bên là ST.

Vectơ pháp tuyến của mặt đáy SPQH là:

\(\vec n = \overrightarrow {SP}  \times \overrightarrow {SQ}  = (0.0 - 0.18;0.8 - 8.0;8.18 - 0.8) = (0;0;144)\)

\( \Rightarrow \theta  = \arccos \left( {\frac{7}{{\sqrt {51} }}} \right)\)

- Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Chọn mặt bên là STEP

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng STEP là:

\(\overrightarrow {{n_{STEP}}}  = \overrightarrow {SP} .\overrightarrow {ST}  = (0.7 - 0.( - 1);0.( - 1) - 8.7;8.( - 1) - 0.( - 1)) = (0; - 56; - 8)\)

Góc giữa mặt bên STEP và mặt đáy SPQH là:

\(\cos \theta  = \frac{{\left| {0.0 + 0.( - 56) + 144.( - 8)} \right|}}{{\sqrt {{{144}^2}} .\sqrt {{{( - 56)}^2} + {{( - 8)}^2}} }} = \frac{{1208}}{{144.40\sqrt 2 }} = \frac{{151}}{{720\sqrt 2 }} \Rightarrow \theta  \approx 81^\circ \)