Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:

\(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\).

Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):

\(\int {\left( { - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}} \right)dt}  =  - \frac{3}{2}\int {\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}.t}}} \right)dt}  =  - \frac{3}{2}\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}^t}dt} \)

\( =  - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}} + C =  - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{^{ - \frac{1}{{50}}}}} + C = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

\(T(0) = 95\)

\(95 = 75{e^0} + C\)

\(95 = 75 + C\)

\(C = 20\).

Vậy hàm số \(T(t)\) là:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\).

Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):

\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\).

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).