Giải bài tập 2.3 trang 64 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Lời giải chi tiết

Ta có thể viết:

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = (\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BA} ) + (\overrightarrow {SD}  + \overrightarrow {DC} )\)

Thay \(\overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {CD} \) vào biểu thức trên, ta được:

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = (\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {AB} ) + (\overrightarrow {SD}  - \overrightarrow {CD} )\)

Sử dụng tính chất của hình bình hành:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \quad {\rm{và}}\quad \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Nên ta có:

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {SD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \)

Vậy đẳng thức \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) đã được chứng minh.