Giải bài tập 13 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Có hai xã A,B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ =500m, BB’=600m và người ta đo được A’B’= 2.200m(hình 37). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A’B’ sao cho tổng khoảng cách từ hai xa đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Lời giải chi tiết

Đặt A'M = x (m).

Suy ra B'M = A'B' – A'M = 2 200 – x (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 2 200.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:

\(AM = \sqrt {A'{A^2} + A'{M^2}}  = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}} \) (m)

\(BM = \sqrt {B'{B^2} + B'{M^2}}  = \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) (m)

Tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

\(D = AM + BM = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}}  + \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) (m)

Xét hàm số \(D(x) = \sqrt {{{500}^2} + {x^2}}  + \sqrt {{{600}^2} + (2200 - {x^2})} \) với \(x \in (0;2200)\).

Ta có: \(D'(x) = \frac{x}{{\sqrt {{{500}^2} + {x^2}} }} + \frac{{x - 2200}}{{\sqrt {{{600}^2} + {{(2200 - x)}^2}} }}\).

Trên khoảng (0;2200), ta thấy D'(x) = 0 khi x = 1 000.

Bảng biến thiên của hàm số D(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(1100\sqrt 5 \) tại x = 1 000.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là  \(1100\sqrt 5 \) m.