Danh Mục

Bài 4.59 trang 174 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.59 trang 174 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng phương trình :...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng phương trình:

LG a

\({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm;

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0;3} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) =  - 23\\f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 0 \right) =  - 1\\f\left( 3 \right) = 227\end{array}\)

Vì \(f\left( { - 2} \right).f\left( { - 1} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

\(f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right)\)

\(f\left( 0 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;3} \right)\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 3 nghiệm.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

LG b

\(m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số 

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) trên các đoạn \(\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 2;1} \right),\left( {1;2} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 13\\f\left( 1 \right) =  - 2\\f\left( 2 \right) = 13\end{array}\)

Vì \(f\left( { - 2} \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2;1} \right)\)

\(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm với mọi \(m\).

LG c

\({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của \(m \in \left( { - 2;2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) trên các đoạn \(\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right),\left( {1;2} \right)\)

Ta có:

\(f\left( { - 1} \right) = 2 - m > 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f\left( 1 \right) =  - 2 - m < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\)

\(f\left( 2 \right) = 2 - m > 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\)

Do đó:

\(f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;1} \right)\)

\(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0,\) \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right)\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm với mọi \(m\).

 Loigiaihay.com


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved