Danh Mục

Bài 4.50 trang 173 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 4.50 trang 173 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng un > 0 với mọi n...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

LG a

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n.     (1)

-  Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)

-  Giả sử  (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)

-  Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

LG b

Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Phương pháp giải:

Đặt \(\lim u_n =a\) rồi thay vào công thức truy hồi tìm \(a\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr 
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr 
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr 
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)

Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \).

 Loigiaihay.com


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved