Danh Mục

Bài 3.3 trang 107 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.3 trang 107 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\) ta có

LG a

\(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho \(6\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n,\)

+) Với \(n = 1\) ta có: \({B_1} =2.1^3-3.1^2+1= 0 \vdots 6\)

+) Giả sử đã có \({B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k\) chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh \({B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k + 1\) chia hết cho 6.

Thật vậy, \(2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k+1\) \( = 2.\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right)\) \( - 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1\)

\(\begin{array}{l}
= 2{k^3} + 6{k^2} + 6k + 2 - 3{k^2} - 6k - 3 + k + 1\\
= 2{k^3} + 3{k^2} + k
\end{array}\)

\( = \left( {2{k^3} - 3{k^2} + k} \right) + 6{k^2} \vdots 6\)

Do \(2{k^3} - 3{k^2} + k \vdots 6\) và \(6{k^2} \vdots 6\).

Vậy ta có đpcm.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

LG b

\({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho \(133\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}.\) Dễ thấy \({A_1} = 133,\) chia hết cho 133.

Giả sử đã có \({A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\) chia hết cho 133.

Ta có \({A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}}\) \( = {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2}\) \({\rm{ =  11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right)\) \( = 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}}\)

Vì \({A_k} \vdots 133\) nên \(11{A_k} \vdots 133\)

Mà \({133.12^{2k - 1}}\vdots 133 \) nên \({A_{k + 1}} \vdots 133.\)

Vậy ta có đpcm.

 Loigiaihay.com


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved