Danh Mục

Bài 3.24 trang 150 SBT hình học 11


Giải bài 3.24 trang 150 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD ...

Đề bài

Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot C{\rm{D}}\) và \(AC \bot B{\rm{D}}\) thì \(AD \bot BC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lý thuyết: "Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó."

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

Vẽ \(AH \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\) tại H, ta có \(C{\rm{D}} \bot AH\) và vì \(C{\rm{D}} \bot AB\) ta suy ra \(C{\rm{D}} \bot BH\). Tương tự vì \({\rm{BD}} \bot AC\) ta suy ra \({\rm{BD}} \bot CH\)

Vậy H  là trực tâm của tam giác BCD  tức là \(DH \bot BC\)

Vì \(AH \bot BC\) nên ta suy ra \(BC \bot A{\rm{D}}\)

Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC}  = 0\) với bốn điểm A, B, C, D bất kì.

Thực vậy , ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr 
& \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {{\rm{AD}}} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr 
& \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \cr} \)

\(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\) 

Do đó nếu \(AB \bot CD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0\,\,\), \(AC \bot BD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B{\rm{D}}}  = 0\,\,\)

Từ hệ thức (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\,\,\), do đó \(A{\rm{D}} \bot BC\).

 Loigiaihay.com


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved