Giải bài 3 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một công ty có ngân sách chi tiêu là \(T\) đồng, nếu giữ tiền mặt \({\rm{x}}\) đồng và đầu tư \(\left( {T - x} \right)\) đồng thì sẽ có lợi nhuận là:

\(f\left( x \right) = \frac{{a\left( {T - x} \right)}}{2} - \frac{{bT}}{x}\),

trong đó:

\(x\): số tiền mặt cần giữ;

\(a\): lãi suất đầu tư 30%;

\(b\): chi phí mỗi lần rút tiền mặt 20,5%.

Tìm \(x\) để \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(T = 8\) tỉ đồng.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{30\% \left( {8 - x} \right)}}{2} - \frac{{8.20,5\% }}{x} = 0,15\left( {8 - x} \right) - \frac{{1,64}}{x} = 1,2 - 0,15x - \frac{{1,64}}{x}\) trên \(\left( {0;8} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 0,15 + \frac{{1,64}}{{{x^2}}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,15 + \frac{{1,64}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{164}}{{15}} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt {615} }}{{15}}\) hoặc \(x =  - \frac{{2\sqrt {615} }}{{15}}\) (loại).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( {0;8} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;8} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{2\sqrt {615} }}{{15}}} \right) = \frac{{30 - \sqrt {615} }}{{25}}\).

Vậy \(x = \frac{{2\sqrt {615} }}{{15}} \approx 3,3\) (tỉ đồng) để \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.