Danh Mục

Giải bài 2.29 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức


Trong không gian (Oxyz), cho tam giác (ABC) với (Aleft( {3;5;2} right)), (Bleft( {0;6;2} right)) và (Cleft( {2;3;6} right)). Hãy giải tam giác (ABC).

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\). Hãy giải tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các biến đổi, phép toán với vectơ, công thức tích vô hướng để lần lượt tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 2;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {9 + 1}  = \sqrt {10} \) và \(AC = \sqrt {1 + 4 + 16}  = \sqrt {21} \).

\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{3 - 2}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {21} }} = \frac{1}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 1;0} \right)\) suy ra \(BC = \sqrt {4 + 9 + 16}  = \sqrt {29} \) và \(AB = \sqrt {10} \).

\(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AB \cdot BC}} = \frac{{6 + 3}}{{\sqrt {10}  \cdot \sqrt {29} }} = \frac{9}{{\sqrt {290} }}\). Suy ra \(\widehat {ABC} \approx {58,096^ \circ }\).

Do đó \(\widehat {BCA} \approx {39,92^ \circ }\). Vậy tam giác \(ABC\) có các cạnh là \(AB = \sqrt {10} \), \(BC = \sqrt {29} \), \(AC = \sqrt {21} \);

 các góc là \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\), \(\widehat {ABC} \approx {54,04^ \circ }\), \(\widehat {BCA} \approx {35,864^ \circ }\).


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved