Giải bài 2.20 trang 30 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\);

b) \({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\);

c) \(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các hằng đẳng thức

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\);

\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\);

\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\);

\({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}\);

\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\);

\({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\);

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({\left( {x + 1} \right)^{3\;}}-{\left( {x-1} \right)^3}\;-6{x^2}\)

\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - ({x^3}\; - 3{x^2}\; + 3x - 1) - 6{x^2}\)

\( = {x^3}\; + 3{x^2}\; + 3x + 1 - {x^3}\; + 3{x^2}\; - 3x + 1 - 6{x^2}\)

\( = ({x^3} - {x^3}) + (3{x^2}\; + 3{x^{2\;}} - 6{x^2}) + \left( {3x - 3x} \right) + 1 + 1\)

\( = 2.\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

b) Ta có:

\({\left( {2x-3} \right)^2}\; + {\left( {2x + 3} \right)^2}\;-2\left( {2x-3} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

\( = {\left( {2x-3} \right)^2}\;-2.\left( {2x-3} \right).\left( {2x + 3} \right) + {\left( {2x + 3} \right)^2}\)

\( = {\left[ {2x-3-\left( {2x + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = {\left( {2x-3-2x-3} \right)^2}\)

\( = {\left( {-6} \right)^2}\; = 36\).

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

c) Ta có:

\(\;\left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + 9)-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + 4)\)

\( = \left( {x-3} \right)({x^2}\; + 3x + {3^2})-\left( {x + 2} \right)({x^2}\;-2x + {2^2})\)

\( = {x^3}\; - {3^3}\; - ({x^3}\; + {2^3})\)

\( = {x^3}\; - 27 - {x^3}\; - 8\)

\( = ({x^3}\; - {x^3}) - 27 - 8 = - 35.\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.