Bài 2.13 trang 68 SBT hình học 11

Giải bài 2.13 trang 68 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\) và \(S\) lần lượt trung điểm của \(AB, CD, BC, AD, AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng \(MN, PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý đường trung bình của tam giác.

Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(MP\parallel AC\) và \(MP = \dfrac{AC}{2}\).

Trong tam giác \(ACD\) ta có: \(QN \parallel AC\) và \(QN = \dfrac{AC}{2}\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel QN\\ MP = QN\end{array} \right.\)

⇒ Tứ giác \(MPNQ\) là hình bình hành.

Do vậy hai đường chéo \(MN\) và \(PQ\) cắt nhau tại trung điểm \(O \) của mỗi đường.

Tương tự: \(PR \parallel QS\) và \(PR = QS = \dfrac{AB}{2}\).

Do đó tứ giác \(PRQS\) là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo \(PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của \(PQ\) và \(OR = OS\)

Vậy ba đoạn thẳng \(MN, PQ\) và \(RS\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Loigiaihay.com

Danh Mục

Bài 2.13 trang 68 SBT hình học 11