Giải bài 1.5 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

Ta có \(y' = 3{x^2} + 2mx + 3\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(y' = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm trong \(\mathbb{R}\). Khi đó điều kiện trên tương đương với \(\Delta  \le 0\) (do \(y'\) là tam thức bậc hai có hệ số \(a = 3 > 0\)).

Ta có \(\Delta  = 4{m^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 3;3} \right].\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m \in \left[ { - 3;3} \right]\).