Câu 6.54 trang 205 SBT Đại số 10 Nâng cao

LG a

\(\dfrac{{\sin x + \sin y}}{2} \le \sin \dfrac{{x + y}}{2}\) với mọi \(x, y\) đều không âm và \(x + y \le 2\pi \).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{\sin x + \sin y}}{2} = \sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\\ \le \sin \dfrac{{x + y}}{2}\).

(Với chú ý rằng \(\sin \dfrac{{x + y}}{2} \ge 0\) do\(0 \le \dfrac{{x + y}}{2} \le \pi \) và \(\cos \dfrac{{x - y}}{2} \le 1\))

LG b

 \(\dfrac{{\cos x + \cos y}}{2} \le \cos \dfrac{{x + y}}{2}\) với mọi \(x, y\) thỏa mãn \( - \pi  \le x + y \le \pi \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\cos x + \cos y}}{2} = \cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{x - y}}{2}} \right)\\ - \pi  \le x + y \le \pi  \Rightarrow \dfrac{{ - \pi }}{2} \le \dfrac{{x + y}}{2} \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le \cos \dfrac{{x + y}}{2}\\\cos \dfrac{{x - y}}{2} \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{\cos x + \cos y}}{2} \le \cos \dfrac{{x + y}}{2}\end{array}\)

Loigiaihay.com