Danh Mục

Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo


Cho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD).

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

 

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(P\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)

Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)

Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(MNP\) có:

\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).


© 2025 Luyện Thi 24/7. All Rights Reserved