Bài 18 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm các đoạn \(MP\) và \(NQ\).

Chứng minh rằng \(IJ// AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).

Lời giải chi tiết

J là trung điểm của NQ nên với điểm I ta có:

\(\eqalign{  & 2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {IN}   \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {IP}  + \overrightarrow {PN}   \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN}  (do\,\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IP}  = \overrightarrow 0 )  \cr} \)

Mà

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\
\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EQ} + \overrightarrow {DQ} } \right)\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}
\end{array}\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}  \Rightarrow \overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE} \)

Suy ra \(IJ // AE\) và \(IJ = \dfrac{1}{4}AE\).

Loigiaihay.com